Question

【题目】巳知二次函数y=a（x2﹣6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．
（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，由a（x2﹣6x+8）=0，

解得x1=2，x2=4；

令x=0，解得y=8a，

∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），

该抛物线对称轴为直线x=3，

∴OA=2，

如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，

由题意得：O′A=OA=2，

∴O′A=2AM，

∴∠O′AM=60°，

∴∠OAC=∠O′AC=60°，

∴OC=2 ，即8a=2 ，

∴a=

（2）

解：若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立，

①如图②，设P是边EF上的任意一点，连接PM，

∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，

∴PB＜4，PC≥4，

∴PC＞PB，

又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形，

②设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），

∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），

∴FB=3，GB= ，

∴3≤PB ，

∵PC≥4，

∴PC＞PB，

又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形

（3）

解：存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，

如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，

∴PA=PB，

∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，

∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，﹣a），

点P的坐标是（3，t），

∴PC2=32+（t﹣8a）2，PD2=（t+a）2，

由PC=PD得PC2=PD2，

∴32+（t﹣8a）2=（t+a）2，

整理得：7a2﹣2ta+1=0有两个不相等的实数根，

∴a= = ，

∴a= 或a= ，

∵t＞3，

∴显然a= 或a= ，满足题意，

∴当t是一个大于3的常数时，存在两个正数a= 或a= ，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

【解析】（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出OC，从而求出a．（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．