Question

【题目】点为图形上任意一点，过点作直线垂足为，记的长度为.

定义一:若存在最大值，则称其为“图形到直线的限距离”，记作；

定义二:若存在最小值，则称其为“图形到直线的基距离”，记作；

（1）已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作则 ．

（2）已知直线，点，点是轴上一个动点，的半径为，点在上，若求此时的取值范围，

（3）已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形，若请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）作直线：平行于直线，且与H相交于点P，连接PO并延长交直线于点Q，作PM⊥x轴，根据只有一个交点可求出b，再联立求出P的坐标，从而判断出PQ平分∠AOB，再利用直线表达式求A、B坐标证明OA=OB，从而证出PQ即为最小距离，最后利用勾股定理计算即可；

（2）过点作直线，可判断出上的点到直线的最大距离为，然后根据最大距离的范围求出TH的范围，从而得到FT的范围，根据范围建立不等式组求解即可；

（3）把点P坐标带入表达式，化简得到关于a、b的等式，从而推出直线的表达式，根据点E的坐标可确定点E所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线一定与图形K相交，从而分两种情况画图求解即可．

解：（1）作直线：平行于直线，且与H相交于点P，连接PO并延长交直线于点Q，作PM⊥x轴，

∵ 直线：与H相交于点P，

∴，即，只有一个解，

∴，解得，

∴，

联立，解得，即，

∴，且点P在第一、三象限夹角的角平分线上，即PQ平分∠AOB，

∴为等腰直角三角形，且OP=2，

∵直线：，

∴当时，，当时，，

∴A(－2，0)，B(0，－2)，

∴OA=OB=2，

又∵OQ平分∠AOB，

∴OQ⊥AB，即PQ⊥AB，

∴PQ即为H上的点到直线的最小距离，

∵OA=OB，

∴，

∴AQ=OQ，

∴在中，OA=2，则OQ=，

∴，即；

（2）由题过点作直线，

则上的点到直线的最大距离为，

∵，

即，

∴，

由题，则，

∴，

又∵，

∴，

解得或；

（3）∵直线恒过定点，

∴把点P代入得：，

整理得：，

∴，化简得，

∴，

又∵点恒在直线上，

∴直线的表达式为：，

∵，

∴直线一定与以点为顶点，原点为对角线交点的正方形图形相交，

∵，

∴点E一定在直线上运动，

情形一：如图，当点E运动到所对顶点F在直线上时，由题可知E、F关于原点对称，

∵，

∴，

把点F代入得：，解得：，

∵当点E沿直线向上运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，

∴点E要沿直线向下运动，即；

情形二：如图，当点E运动到直线上时，

把点E代入得：，解得：，

∵当点E沿直线向下运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，

∴点E要沿直线向上运动，即，

综上所述，或．