题目内容
【题目】(12分)如图,以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB、ACGF,
连接DC、BF。(相关知识链接:正方形的四条边都相等,四个角都是直角)
(1)观察图形,利用旋转的观点说明:
△ADC绕着点__ ___逆时针旋转___ __°得到△ABF。
(2)猜想:CD与BF有怎样的数量关系和位置关系?并证明你的猜想.
(3)若CD与BF相交于点M,求∠AMF的度数。
【答案】(1)△ADC绕着点__A _逆时针旋转_90_°得到△ABF;
(2)CD⊥BF,CD=BF,证明见解析;
(3)∠AMF=450
【解析】(1)因为AD=AB,AC=AF,∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC,故△ABF可看作△ADC绕A点逆时针旋转90°得到;
(2)要求两条线段的长度关系,把两条线段放到两个三角形中,利用三角形的全等求得两条线段相等;根据全等三角形的对应角相等以及直角三角形的两锐角互补,即可证得∠NMC=90°,可证得证BF⊥CD;
(3)过点A作CD、BF的垂线段,即可求出∠AMF的度数.
解:(1)根据正方形的性质可得:AD=AB,AC=AF,
∠DAB=∠CAF=90°,
∴∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC,
∴△DAC≌△BAF(SAS),
故△ADC可看作△ABF绕A点逆时针旋转90°得到.
故答案为:A逆时针,90°;
(2)DC=BF,DC⊥BF.
理由:在正方形ABDE中,AD=AB,∠DAB=90°,
又在正方形ACGF,AF=AC,∠FAC=90°,
∴∠DAB=∠FAC=90°,
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠FAB=∠FAC+∠BAC,
∴∠DAC=∠FAB,
在△DAC和△FAB中,
AD=AB,∠DAC=∠FAB,AC=AF,
∴△DAC≌△FAB(SAS),
∴DC=FB,∠AFN=∠ACD,
又∵在直角△ANF中,∠AFN+∠ANF=90°,∠ANF=∠CNM,
∴∠ACD+∠CNM=90°,
∴∠NMC=90°
∴BF⊥CD,
即CD与BF的数量关系是BF=CD和位置关系是BF⊥CD.
(3)过点A作CD、BF的垂线段,并证明相等
得出MA平分∠DMF,则∠AMF=45°. .
“点睛”本题考查了旋转的性质,正方形的性质及三角形全等的性质,关键是根据图形中两个三角形的位置关系解题.