题目内容

【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,过点A0)的两条直线分别交y轴于BC两点,且BC两点的纵坐标分别是一元二次方程x22x3=0的两个根

1)求线段BC的长度;

2)试问:直线AC与直线AB是否垂直?请说明理由;

3)若点D在直线AC上,且DB=DC,求点D的坐标;

4)在(3)的条件下,直线BD上是否存在点P,使以ABP三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)4;(2)AC⊥AB;(3)(﹣2,1);(4)点P的坐标为(﹣3,0),(﹣,2),(﹣3,3﹣),(3,3+).

【解析】试题分析:

1)解出方程后,即可求出BC两点的坐标,即可求出BC的长度;

2)由ABC三点坐标可知OA2=OCOB,所以可证明△AOC∽△BOA,利用对应角相等即可求出∠CAB=90°

3)容易求得直线AC的解析式,由DB=DC可知,点DBC的垂直平分线上,所以D的纵坐标为1,将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标;

4ABP三点为顶点的三角形是等腰三角形,可分为以下三种情况:①AB=AP②AB=BP③AP=BP;然后分别求出P的坐标即可.

试题解析:

1∵x2﹣2x﹣3=0

∴x=3x=﹣1

∴B03),C0﹣1),

∴BC=4

2∵A0),B03),C0﹣1),

∴OA=OB=3OC=1

∴OA2=OBOC

∵∠AOC=∠BOA=90°

∴△AOC∽△BOA

∴∠CAO=∠ABO

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°

∴∠BAC=90°

∴AC⊥AB

3)设直线AC的解析式为y=kx+b

A0)和C0﹣1)代入y=kx+b

解得:

直线AC的解析式为:y=﹣x﹣1

∵DB=DC

D在线段BC的垂直平分线上,

∴D的纵坐标为1

y=1代入y=﹣x﹣1

∴x=﹣2∴D的坐标为(﹣21),

4)设直线BD的解析式为:y=mx+n,直线BDx轴交于点E

B03)和D﹣21)代入y=mx+n

解得

直线BD的解析式为:y=x+3

y=0代入y=x+3

∴x=﹣3∴E﹣30),

∴OE=3

∴tan∠BEC==∴∠BEO=30°

同理可求得:∠ABO=30°

∴∠ABE=30°

PA=AB时,如图1

此时,∠BEA=∠ABE=30°

∴EA=AB

∴PE重合,

∴P的坐标为(﹣30),

PA=PB时,如图2

此时,∠PAB=∠PBA=30°

∵∠ABE=∠ABO=30°

∴∠PAB=∠ABO

∴PA∥BC

∴∠PAO=90°

P的横坐标为﹣

x=﹣代入y=x+3

∴y=2∴P2),

PB=AB时,如图3

由勾股定理可求得:AB=2EB=6

若点Py轴左侧时,记此时点PP1

过点P1P1F⊥x轴于点F

∴P1B=AB=2

∴EP1=6﹣2

∴sin∠BEO=

∴FP1=3﹣

y=3﹣代入y=x+3

∴x=﹣3∴P1﹣33﹣),/p>

若点Py轴的右侧时,记此时点PP2

过点P2P2G⊥x轴于点G

∴P2B=AB=2

∴EP2=6+2

∴sin∠BEO=

∴GP2=3+

y=3+代入y=x+3

∴x=3∴P233+),

综上所述,当ABP三点为顶点的三角形是等腰三角形时,点P的坐标为(﹣30),(2),(﹣33﹣),(33+).

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