题目内容
【题目】如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E,H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.
(1)求证:△AEH∽△ABC;
(2)求这个正方形的边长与周长.
【答案】
(1)解:∵四边形EFGH是正方形,
∴EH∥BC,
∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,
∴△AEH∽△ABC
(2)解:如图,设AD与EH交于点M,
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°,
∴四边形EFDM是矩形,
∴EF=DM,
设正方形EFGH的边长为x,则DM=x,AM=30﹣x,
∵△AEH∽△ABC,
∴ =
,即
=
,
解得x= ,
∴正方形EFGH的边长为 cm,周长为
cm.
【解析】(1)根据四边形EFGH是正方形,得到EH∥BC,进而得出∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,即可判定△AEH∽△ABC;(2)设正方形EFGH的边长为x,则DM=x,AM=30﹣x,根据△AEH∽△ABC,得出 =
,即
=
,进而解得x=
,即可得出正方形的边长与周长.

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