题目内容

【题目】如图,O为坐标原点,四边彤OACB是菱形,OB在x轴的正半轴上,sin∠AOB=,反比例函数在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,删△AOF的面积等于( )

A. 10 B. 9 C. 8 D. 6

【答案】A

【解析】 过点A作AM⊥x轴于点M,过点F作FN⊥x轴于点N,设OA=a,BF=b,通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标,结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值,通过分割图形求面积,最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积,利用梯形的面积公式即可得出结论.

解:过点A作AM⊥x轴于点M,过点F作FN⊥x轴于点N,如图所示.

设OA=a,BF=b,

在Rt△OAM中,∠AMO=90°,OA=a,sin∠AOB=

∴AM=OAsin∠AOB=a,OM==a,

∴点A的坐标为(a, a).

∵点A在反比例函数y=的图象上,

a=a2=12,

解得:a=5,或a=﹣5(舍去).

∴AM=8,OM=6.

∵四边形OACB是菱形,

∴OA=OB=10,BC∥OA,

∴∠FBN=∠AOB.

在Rt△BNF中,BF=b,sin∠FBN=,∠BNF=90°,

∴FN=BFsin∠FBN=b,BN==b,

∴点F的坐标为(10+b, b).

∵点F在反比例函数y=的图象上,

∴(10+b)×b=12,

S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF=10

故选A.

“点睛”本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA.

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