题目内容

正方形ABCD中，E、F分别在边AD，AB上，且AE=BF= $数学公式$ AB，EF与AC交于点P．
（1）求EF：AE的值；
（2）设AB=x，四边形BCPF的面积为y，求y关于x的函数解析式．

解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∵AE=BF= $\text{[math]}$ AB，
∴AF= $\text{[math]}$ AB，
∴EF= $\text{[math]}$ AB，
∴EF：AE= $\text{[math]}$ ：1，
则EF：AE的值为 $\text{[math]}$ ；

（2）过E、F点作EG⊥AC于G，FH⊥AC于H，
∵S_△APF=2S_△APE；S_△APE+S_△APF=S_△AEF，
∴S_△APF= $\text{[math]}$ S_△AEF，
∴S_△AEF=AE•AF÷2= $\text{[math]}$ AD× $\text{[math]}$ AB÷2= $\text{[math]}$ x²，
∴S_{正方形ABCD}y=S_△ABC-S_△AFP= $\text{[math]}$ S_{正方形ABCD}- $\text{[math]}$ S_{正方形ABCD}= $\text{[math]}$ x²．
分析：（1）欲求EF：AE的值，由题知EF、AE均与AB相关，可以先求出EF= $\text{[math]}$ AB，AE=BF= $\text{[math]}$ AB，再求值；
（2）AB=x，四边形BCPF的面积为y，欲求y关于x的函数解析式，可以通过图形△APF、△APE、△AEF、△ABC、正方形ABCD相互间的面积进行转换得出．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，考查了相似三角形的性质及勾股定理；运用的是相似三角形的相似比，三角形，正方形的面积计算公式，含线段间的相等关系．