题目内容
【题目】如图,已知:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合,当三角尺绕着点M旋转时,两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D,E两点(D、E不与B、A重合).
(1)求证:MD=ME;
(2)求四边形MDCE的面积:
(3)若只将原题目中的“AC=BC=2”改为“BC=a,AC=b,(a≠b)”其它都不变,请你探究:MD和ME还相等吗?如果相等,请证明;如果不相等,请求出MD∶ME的值.
【答案】(1)证明见解析(2)1(3)不相等
【解析】
(1)证明MD和ME所在的△BDM≌△CEM即可;
(2)由(1)中的全等得到面积相等,把所求的四边形的面积进行转换,成为三角形的面积即可;
(3)过M点作MF⊥BC于F,MH⊥AC于H,证明△MFD△MHE,再根据相似三角形的性质可得到MD∶ME的值.
⑴、证明:连接CM,
在Rt△ABC中,M是AB的中点,且AC=BC,
∴CM=AB=BM
∠MCE=∠B=450,CM⊥AB
而∠BMD=900-∠DMC,∠EMC=900-∠DMC,
∴∠BMD=∠EMC
△BDM≌△CEM(ASA)
∴MD=ME
⑵、∵△BDM≌△CEM,∴S四边形DMEC=S△DMC+S△CME=S△DMC+S△BMD=S△BCM=S△ACB=1,
∴四边形MDCE的面积为1.
⑶、不相等.
如图所示,过M点作MF⊥BC于F,MH⊥AC于H,
∵M是AB的中点,
∴MF=b,MH=
a
∠FMD=900-∠DMH,∠EMH=900-∠DMH,故∠FMD=∠EMH
∠MFD=∠MHE=900,
∴△MFD△MHE,
∴=
=
.

【题目】为了传承优秀传统文化,我市组织了一次初三年级1 200名学生参加的“汉字听写”大赛,为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了100名学生的成绩(满分50分),整理得到如下的统计图表:
成绩(分) | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
人数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 6 | 7 | 5 | 8 | 15 | 9 | 11 | 12 | 8 | 6 | 4 |
成绩分组 | 频数 | 频率(百分比) |
35≤x<38 | 3 | 0.03 |
38≤x<41 | a | 0.12 |
41≤x<44 | 20 | 0.20 |
44≤x<47 | 35 | 0.35 |
47≤x≤50 | 30 | b |
请根据所提供的信息解答下列问题:
(1)频率统计表中a=________,b=_______;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)请根据抽样统计结果,估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人?