Question

已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x²y+xy²=66，求：代数式x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴的值．

Answer 1

分析：由已知条件xy+（x+y）=17，x²y+xy²=xy（x+y）=66，可以看出xy和（x+y）是方程t²-17t+66=0的两个实数根，可得出xy=11，x+y=6时，x、y是方程v²-6v+11=0的两个根或xy=6，x+y=11时，x、y是方程u²-11u+6=0的两个根，根据根的判别式△=b²-4ac，判断两个方程有无实数根，有实数根时可以整理出x²+y²=（x+y）²-2xy，把原代数式化简为含x²+y²的形式，代入求值即可．

解答：解：由已知条件可知xy和（x+y）是方程t²-17t+66=0的两个实数根，由t₁=6，t₂=11
得

xy=6 x+y=11

或

xy=11 x+y=6

当xy=11，x+y=6时，x、y是方程v²-6v+11=0的两个根
∵△₁=36-44＜0
∴此方程没有实数根
当xy=6，x+y=11时，x、y是方程u²-11u+6=0的两个根
∵△₂=121-24＞0
∴此方程有实数根，这时x²+y²=（x+y）²-2xy=109
∴x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴=x⁴+y⁴+x²y²+xy（x²+y²）=（x²+y²）²-x²y²+xy（x²+y²）=12499．

点评：此题综合性比较强，主要考查：
①一元二次方程根的判别式的有关内容．根的判别式△=b²-4ac＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根．
②一元二次方程根与系数的关系：如果一个一元二次方程的两根是x₁、x₂，那么这个一元二次方程为x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂=0．