Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为

5

的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线y=ax²+ax-2上，
（1）点A的坐标为

（0，2）

，点B的坐标为

（-3，1）

；抛物线的解析式为

y=

1

2

x²+

1

2

x-2

；
（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点D是（1）中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连接BD、CD．当△BCD的面积最大时，求点D的坐标．
（4）若点P是（1）中所求抛物线上一个动点，以线段AB、BP为邻边作平行四边形ABPQ．当点Q落在x轴上时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAC中，已知AC、OC的长，由勾股定理可求得点A的坐标；过点B作x轴的垂线，通过构建的全等三角形可确定点B的坐标；再利用待定系数法确定函数的解析式即可．
（2）由于∠ACB=90°，显然直线BC与抛物线的另一交点符合点P的要求；另外，过点A作直线BC的平行线，那么该直线与抛物线的两个交点显然也符合点P的要求．
（3）已知B、C点的坐标，那么在求△BCD的面积时，可以B、C的横坐标差的绝对值作为△BCD的一个高，过D作x轴的垂线交直线BC于M，那么可将DM当作此时△BCD的底，可据此求出关于△BCD的面积的函数关系式，再由所得函数的性质来求解．
（4）设出点Q的坐标，取BQ的中点，若AB、BP为平行四边形的邻边，那么根据平行四边形的中心对称性可知：A、P关于BQ的中点对称，先表示出点P的纵坐标，再代入抛物线的解析式中即可确定点P的坐标．

解答：解：（1）在Rt△OAC中，AC=

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，OC=1，∴OA=

AC2-OC2

=2，即 A（0，2）；
过点B作BE⊥x轴于E，可得：△BEC≌△COA，
∴BE=OC=1，CE=OA=2，OE=CE+OC=3，即 B（-3，1）；
将点B（-3，1）代入y=ax²+ax-2中，得：
9a-3a-2=1，a=

1

2

∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
故答案：A（0，2），B（-3，1），y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（2）存在点P（点B除外），使三角形ACP是以AC为直角边的直角三角形
理由如下：
分情况讨论：
①延长BC交抛物线于点P，连接AP₁
因为∠ACB=90°，∴∠ACP=90°
设直线BC的解析式为y=kx+b
将B（-3，1），C（-1，0）代入上式得

k=- 1 2 b=- 1 2

，所以 y=-

1

2

x-

1

2

；
联立方程组

y= 1 2 x2+ 1 2 x-2 y= 1 2 x- 1 2

，解得

x1=1 y1=-1

，

x2=-3 y2=1

（不符合题意舍去）
所以：P₁（1，-1）；
②过点A作AP₂∥BC，交抛物线于点P₂，P₃
设直线AP₂的解析式为y=-

1

2

x+b，将A（0，2）代入得b₁=2
所以：y=-

1

2

x+2
联立方程组

y= 1 2 x2+ 1 2 x-2 y=- 1 2 x+2

，解得：

x1=2 y1=1

，

x2=-4 y2=4

所以：P₂（2，1），P₃（-4，4）；
综上所述：存在点P₁（1，-1），P₂（2，1），P₃（-4，4）（点B除外），使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

（3）设点D的坐标为（m，

1

2

m²+

1

2

m-2），过点D作DM⊥x轴交直线BC于点M
所以点M的坐标为（m，-

1

2

m-

1

2

），MD=-

1

2

m²-m+

3

2

；
再设三角形BCD的面积为S．
S=

1

2

×MD×（x_C-x_B）=

1

2

（-

1

2

m²-m+

3

2

）×2=-

1

2

（m+1）²+2；
因为S是m的二次函数，且抛物线开口向下，函数有最大值
即当m=-1时S有最大值2
此时点D的坐标为（-1，-2）．

（4）设点Q的坐标（x，0），取BQ的中点（

x-3

2

，

1

2

）；
由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是平行四边形的对角线的交点（

x-3

2

，

1

2

）；
已知点A的纵坐标为2，那么点P的纵坐标必为

1

2

×2-2=-1；将点P的纵坐标代入二次函数的解析式中，得：
-1=

1

2

x²+

1

2

x-2，解得：x=1或-2；
∴点P（1，-1）或（-2，-1）．

点评：该题涉及的内容较多，难度也较大，主要考查的知识点有：函数解析式的确定、特殊几何图形的判定和性质以及图形面积的解法等．在解题时，一定要注意数形结合思想的合理应用，通过部分辅助线往往可以题目变的简洁、明了．