Question

如图，已知抛物线C₁的顶点坐标是D（1，4），且经过点C（2，3），又与x轴交于点A、E（点A在点E左边），与y轴交于点B．
（1）抛物线C₁的表达式是

y=-x²+2x+3

；
（2）四边形ABDE的面积等于

9

；
（3）问：△AOB与△DBE相似吗？并说明你的理由；
（4）设抛物线C₁的对称轴与x轴交于点F．另一条抛物线C₂经过点E（C₂与C₁不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴交于点G，并且以M、G、E为顶点的三角形与以点D、E、F为顶点的三角形全等，求a、b的值．（只需写出结果，不必写解答过程）．

Answer 1

分析：（1）根据图象可得出A、B、C三点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）由于四边形ABDE不是规则的四边形，因此可过D作DF⊥x轴于F，将四边形ABDE分成△AOB，梯形BOFD和△DOE三部分来求．
（3）可先根据坐标系中两点间的距离公式，分别求出AB、BE、DE、BD的长，然后看两三角形的线段是否对应成比例即可．
（4）要使两三角形全等，那么两直角三角形的两直角边应对应相等．
①当EF=EG=2，DF=MG=3，此时M点的坐标可能为（5，4），（5，-4），（1，-4）．
②当EF=MG=2，DF=EG=3，此时M点的坐标可能是（7，2），（7，-2），（-1，2），（-1，-2），综上所述可得出a、b的值．

解答：解：（1）设c₁的解析式为y=ax²+bx+c，由图象可知：c₁过A（-1，0），B（0，3），C（2，3）三点．

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

解得：

a=-1 b=2 c=3

∴抛物线c₁的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4．
∴抛物线c1的顶点D的坐标为（1，4）；
过D作DF⊥x轴于F，由图象可知：OA=1，OB=3，OF=1，DF=4；
令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴OE=3，则FE=2．
S_△ABO=

1

2

OA•OB=

1

2

×1×3=

3

2

；
S_△DFE=

1

2

DF•FE=

1

2

×4×2=4；
S_梯形BOFD=

1

2

（BO+DF）•OF=

7

2

．
∴S_{四边形ABDE}=S_△AOB+S_梯形BOFD+S_△DFE=9（平方单位）．

（3）如图，过B作BK⊥DF于K，则BK=OF=1．
DK=DF-OB=4-3=1．
∴BD=

DK2+BK2

=

2

，
又DE=

DF2+FE2

=2

5

；
AB=

10

，BE=3

2

；
在△ABO和△BDE中，
AO=1，BO=3，AB=

10

；
BD=

2

，BE=3

2

，DE=2

5

．
∵

AO

BD

=

BO

BE

=

AB

DE

=

1

2

∴△AOB∽△DBE．

（4）①当EF=EG=2，DF=MG=4，此时M点的坐标可能为（5，4），（5，-4），（1，-4）．
②当EF=MG=2，DF=EG=3，此时M点的坐标可能是（7，2），（7，-2），（-1，2），（-1，-2），
综上所述可得出a、b的值．

a1=5 b1=4

，

a2=5 b2=-4

，

a3=7 b3=-2

，

a4=7 b4=2

，

a5=1 b5=-4

，

a6=-1 b6=2

，

a7=-1 b7=-2

．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、图形面积的求法等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．