题目内容

如图1,在等腰梯形ABCO中,ABCOEAO的中点,过点EEFOCBCFAO=4,OC=6,∠AOC=60°.现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中,使点O与原点重合,OCx轴正半轴上,点AB在第一象限内.
(1)求点E的坐标及线段AB的长;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过点PPMEFOC于点M,过MMNAO交折线ABC于点N,连结PN,设PE=x.△PMN的面积为S.
①求S关于x的函数关系式;
②△PMN的面积是否存在最大值,若不存在,请说明理由.若存在,求出面积的最大值;

(3)另有一直角梯形EDGHHEF上,DG落在OC上,∠EDG=90°,且DG=3,HGBC.现在开始操作:固定等腰梯形ABCO,将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动,直到点D与点C重合时停止(如图2).设运动时间为t秒,运动后的直角梯形为EDGH′(如图3);试探究:在运动过程中,等腰梯ABCO与直角梯形EDGH′重合部分的面积y与时间t的函数关系式.
(1)E(1,),AB=2(2)①(3)y=-t+,y= 2
解:(1)E(1,),AB=2( 4分)
(2)①当0≤x≤1时,S=,当时,(2分)
②若0≤x≤1时,S=                  
时,∵-<0 ∴Sx的增大而减小∴S不存在最大值                         
∴综上所述,当0≤x≤1时,S存在最大值,最大值为 (2分)
(3)当0≤t≤2时,直角梯形EDGH′落在等腰梯形内部,
这时重叠部分的面积即为直角梯形面积,y=×(2+3)×=
当2<t≤4时,y=×(4-t+5-t)×=-t+
当4<t≤5时,y=(5-t×(5-t)= 2(4分)
(1)过点E作OC的垂线EW,垂足为W,解直角三角形EOW可求得点E的坐标,
以及线段AB的值
(2)中利用线线平行和已知的AO=MN,求三角形PMN面积,只需要求解高即可,利用给出的x分类讨论,0≤x≤1和当时点到两种不同的结果,然后根据得到的面积表达式为二次函数,利用二次函数的性质得到最值。
(3)根据梯形运行的时间可知,求解的面积公式需要分类讨论。当0≤t≤2时,直角梯形EDGH′落在等腰梯形内部,这时重叠部分的面积即为直角梯形面积
当2<t≤4时,当4<t≤5时,结合梯形面积公式得到结论。
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