Question

如图，抛物线y=ax²-4ax+c（a≠0）经过A（0，-1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．
（1）求a，c的值；
（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；
（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可；
（2）先求出直线AB的解析式，然后分别求出点P与点Q的坐标，则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，然后整理即可；
（3）根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况，又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边，进行讨论列式求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-4ax+c过A（0，-1），B（5，0）
∴

c=-1 25a-20a+c=0

，
解得：

a= 1 5 c=-1

，
故ac的值分别为

1

5

，-1，
抛物线的解析式是y=

1

5

x²-

4

5

x-1；

（2）∵直线AB经过A（0，-1），B（5，0），
∴直线AB的解析式为y=

1

5

x-1，
由（1）知抛物线的解析式为：y=

1

5

x²-

4

5

x-1，
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴，
∴P（m，

1

5

m²-

4

5

m-1），Q（m，

1

5

m-1），
∴S=PQ=（

1

5

m-1）-（

1

5

m ²-

4

5

m-1），
即S=-

1

5

m²+m（0＜m＜5）；

（3）抛物线的对称轴l为：x=2，
以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：
相离、相切、相交三种关系，
相离时：|m-2|＞

1

2

（-

1

5

m²+m），
解得0＜m＜

15- 145

2

或 

-5+ 105

2

＜m＜5；
相切时：|m-2|=

1

2

（-

1

5

m²+m），
解得m=

15- 145

2

或 m=

-5+ 105

2

；
相交时：|m-2|＜

1

2

（-

1

5

m²+m），
解得

15- 145

2

＜m＜

-5+ 105

2

．

点评：本题考查了待定系数法，直线与二次函数相交的问题，直线与圆的位置关系，综合性较强，对同学们的能力要求较高，（3）中要注意分点P有在对称轴左边与右边的两种情况，容易漏解而导致出错．