Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上．

（1）如图1，如果AM=AN，求证：BM=CN；
（2）如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN²=BM²+NC²成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件“在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC”以及等腰直角三角形的性质来判定△ABM≌△CAN（AAS）；然后根据全等三角形的对应边相等求得BM=CN；
（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN²=EC²+NC²即MN²=BM²+NC²．

解答：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM．
即得∠AMB=∠ANC．（1分）
在△ABM和△CAN中，

∠AMB=∠ANC ∠B=∠C AB=AC

∴△ABM≌△CAN（AAS）．（2分）
∴BM=CN．（1分）
另证：过点A作AD⊥BC，垂足为点D．
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．（1分）
同理，证得MD=ND．（1分）
∴BD-MD=CD-ND．
即得BM=CN．（2分）

（2）MN²=BM²+NC²成立．
证明：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．（1分）
在△ABM和△ACE中，

AB=AC ∠B=∠ACE BM=CE

∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．（2分）
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．（1分）
在△MAN和△EAN中，

AM=AE ∠MAN=∠EAN AN=AN

∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．（1分）
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN²=EC²+NC²．
即得MN²=BM²+NC²．（1分）
另证：由∠BAC=90°，AB=AC，可知，把△ABM绕点A逆时针旋转90°后，AB与AC重合，设点M的对应点是点E．
于是，由图形旋转的性质，得AM=AE，∠BAM=∠CAE．（3分）
以下证明同上．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．等腰直角三角形的两个底角都是45°、两腰相等．