Question

如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（1，0）将△AOB绕点B顺时针方向旋转90°得到△DEB．以A为顶点的抛物线经过点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在Y轴右侧抛物线上是否存在点P，使得以点P、O、E、D为顶点的四边形是梯形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设△DEB的外心为M，将抛物线沿X轴正方向以每秒1个单位的速度向右平移，直接写出M在抛物线内部（指抛物线与X轴所围成的部分）时t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知得出E点坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据梯形的判定求出当DE∥PB时，即P点在X轴上，即y=0，求出P点坐标即可；
（3）根据直角三角形外心的性质得出，M点是BD中点，进而得出M点坐标，当图象向右平移t秒时，即二次函数对称轴为x=t，图象过M点，求出t的值即可，进而得出t的取值范围．

解答：解：（1）∵A（0，2），B（1，0）将△AOB绕点B顺时针方向旋转90°得到△DEB，
∴E点坐标为：（1，1），
∴A为顶点的抛物线经过点E的抛物线解析式为：y=ax²+c，
∴

c=2 1=a+c

，
∴

a=-1 c=2

．
∴y=-x²+2；

（2）当DE∥PB时，即P点在X轴上，
∴0=-x²+2，
解得：x=±

2

，
∴PO=

2

，
∵AO=2，
∴DE=2，
∴PO≠DE，
∴四边形EPOD是梯形，
∴在Y轴右侧抛物线上存在点P，使得以点P、O、E、D为顶点的四边形是梯形，
∴点P的坐标为：（-

2

，0）；

（3）如图所示：当△DEB的外心为M，将抛物线沿X轴正方向以每秒1个单位的速度向右平移，
∴M在抛物线内部（指抛物线与X轴所围成的部分）时t的取值范围是：2-

6

2

＜t＜2+

6

2

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及梯形的判定方法和三角形外心的性质等知识，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．