题目内容
【题目】如图,已知经过点D(2,﹣)的抛物线y=
(x+1)(x﹣3)(m为常数,且m>0)与x轴交于点A、B(点A位于B的左侧),与y轴交于点C.
(1)填空:m的值为 , 点A的坐标为;
(2)根据下列描述,用尺规完成作图(保留作图痕迹,不写作法):连接AD,在x轴上方作射线AE,使∠BAE=∠BAD,过点D作x轴的垂线交射线AE于点E;
(3)动点M、N分别在射线AB、AE上,求ME+MN的最小值;
【答案】
(1)
解: ∵抛物线y=(x+1)(x﹣3)经过点D(2,﹣
),
∴m=,
把m=代入y=
(x+1)(x﹣3),得y=
(x+1)(x﹣3),
即y=x2﹣
x﹣
;
令y=0,得(x+1)(x﹣3)=0,
解得x=﹣1或3,
∴A(﹣1,0),B(3,0);
(2)
解: 如图1所示;
(3)
解: 过点D作射线AE的垂线,垂足为N,交AB于点M,设DE与x轴交于点H,如图2,
由(1)(2)得点D与点E关于x轴对称,
∴MD=ME,
∵AH=3,DH=,
∴AD=2,
∴∠BAD=∠BAE=30°,
∴∠DAN=60°,
∴sin∠DAN=,
∴sin60°=,
∴DN=3,
∵此时DN的长度即为ME+MN的最小值,
∴ME+MN的最小值为3;
【解析】(1)把点D坐标代入抛物线y=(x+1)(x﹣3),即可得出m的值,再令y=0,即可得出点A,B坐标;
(2)根据尺规作图的要求,画出图形,如图1所示;
(3)过点D作射线AE的垂线,垂足为N,交AB于点M,此时DN的长度即为ME+MN的最小值;

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