题目内容

【题目】如图,已知经过点D(2,﹣)的抛物线y=(x+1)(x﹣3)(m为常数,且m>0)与x轴交于点A、B(点A位于B的左侧),与y轴交于点C.
(1)填空:m的值为   , 点A的坐标为
(2)根据下列描述,用尺规完成作图(保留作图痕迹,不写作法):连接AD,在x轴上方作射线AE,使∠BAE=∠BAD,过点D作x轴的垂线交射线AE于点E;
(3)动点M、N分别在射线AB、AE上,求ME+MN的最小值;

【答案】
(1)

解: ∵抛物线y=(x+1)(x﹣3)经过点D(2,﹣),

∴m=

把m=代入y=(x+1)(x﹣3),得y=(x+1)(x﹣3),

即y=x2x﹣

令y=0,得(x+1)(x﹣3)=0,

解得x=﹣1或3,

∴A(﹣1,0),B(3,0);


(2)

解: 如图1所示;


(3)

解: 过点D作射线AE的垂线,垂足为N,交AB于点M,设DE与x轴交于点H,如图2,

由(1)(2)得点D与点E关于x轴对称,

∴MD=ME,

∵AH=3,DH=

∴AD=2

∴∠BAD=∠BAE=30°,

∴∠DAN=60°,

∴sin∠DAN=

∴sin60°=

∴DN=3,

∵此时DN的长度即为ME+MN的最小值,

∴ME+MN的最小值为3;


【解析】(1)把点D坐标代入抛物线y=(x+1)(x﹣3),即可得出m的值,再令y=0,即可得出点A,B坐标;
(2)根据尺规作图的要求,画出图形,如图1所示;
(3)过点D作射线AE的垂线,垂足为N,交AB于点M,此时DN的长度即为ME+MN的最小值;

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