题目内容
代数式ax2+bx+c（a≠0）当x取1和3时，代数式的值为0．（1）求b、c分别与a的关系式；
（2）当代数式的值等于-a和3a时，求x；
（3）用y表示上述代数式的值，把所得到的任意一对有序实数对（x，y）作为直角坐标平面内的点的坐标．请在-3＜a＜3的范围内，对a取一个合适的值，画出此时点（x，y）所成图形的示意图，然后观察并写出点（x，y）的位置随x的增大而变化的规律．
分析：（1）把x=1，x=3分别代入关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0），便可求出b、c分别与a的关系式．
（2）把（1）中b、c分别与a的关系式代入代数式中，再分别令代数式的值等于-a和3a，求出a的值即可．
（3）在-3＜a＜3的范围内取a的值，得到关于x，y的函数关系式，求出其顶点坐标，与x轴的交点坐标即可画出函数图象．
（2）把（1）中b、c分别与a的关系式代入代数式中，再分别令代数式的值等于-a和3a，求出a的值即可．
（3）在-3＜a＜3的范围内取a的值，得到关于x，y的函数关系式，求出其顶点坐标，与x轴的交点坐标即可画出函数图象．
解答：
解：（1）
②-①得，8a+2b=0，即b=-4a，
代入①得，a-4a+c=0，
∴c=3a，
∴b=-4a为所求的关系式．
（2）∵b=-4a，c=3a，
∴ax2+bx+c=ax2-4ax+3a，
由题意知，ax2-4ax+3a=-a，
∵a≠0，
∴x2-4x+4=0，
解得x1=-2，x2=2；
又ax2-4ax+3a=3a，
∵a≠0，
∴x2-4x=0，
解得x1=0，x2=4．
（3）∵-3＜a＜3，且a≠0，
∴取a=1，有y=x2-4x+3，
即y=（x-2）2-1．
∴所成图形为二次函数y=x2-4x+3的图象，顶点坐标为（2，-1），与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）如图，
∴①当x＜2时，点（x，y）的位置随x的增大而减小；
②当x≥2时，点（x，y）的位置随x的增大而增大．
解：（1）
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代入①得，a-4a+c=0，
∴c=3a，
∴b=-4a为所求的关系式．
（2）∵b=-4a，c=3a，
∴ax2+bx+c=ax2-4ax+3a，
由题意知，ax2-4ax+3a=-a，
∵a≠0，
∴x2-4x+4=0，
解得x1=-2，x2=2；
又ax2-4ax+3a=3a，
∵a≠0，
∴x2-4x=0，
解得x1=0，x2=4．
（3）∵-3＜a＜3，且a≠0，
∴取a=1，有y=x2-4x+3，
即y=（x-2）2-1．
∴所成图形为二次函数y=x2-4x+3的图象，顶点坐标为（2，-1），与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）如图，
∴①当x＜2时，点（x，y）的位置随x的增大而减小；
②当x≥2时，点（x，y）的位置随x的增大而增大．
点评：本题考查的是在方程组中用把一个未知数当作已知，表示另一个未知数的解方程组的方法，及画二次函数图象的方法，比较简单．
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