题目内容
【题目】如图,在正方形ABCD中,点P在线段CB的延长线上,连接PA,将线段PA绕点P顺时针旋转90°,得到线段PE,连接CE,过点E作EF⊥BC于H,与对角线AC交于点F.
(1)请根据题意补全图形;
(2)求证:EH=FH.
【答案】(1)图见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据题意画出对应的几何图形即可;
(2)先根据题意和正方形的性质推出FH=CH,再根据旋转的性质和AAS证明△APB≌△PEH,得到PB=EH,PH=AB,然后利用等线段代换即可得到结论.
(1)解:如图.
(2)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,∠ACB=45°,
∴△CFH为等腰直角三角形,
∴FH=CH,
∵线段PA绕点P顺时针旋转90°,得到线段PE,EF⊥BC,
∴PA=PE,∠APE=∠PHE =∠ABC =90°,
∵∠APB+∠HPE=90°,∠APB+∠PAB=90°,
∴∠PAB=∠HPE,
∴△APB≌△PEH(AAS),
∴PB=EH,PH=AB,
∴PH=BC,
∴PB=CH,
∴CH=HE,
∴EH=FH.
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