Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°． ①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

【答案】
（1）解：直线BC与⊙O相切；

连结OD，∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠C=90°，

即OD⊥BC．

又∵直线BC过半径OD的外端，

∴直线BC与⊙O相切

（2）解：①设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，

∴OB=2r，

在Rt△ACB中，∠B=30°，

∴AB=2AC=6，

∴3r=6，解得r=2．

②在Rt△ACB中，∠B=30°，

∴∠BOD=60°．

∴ ．

∵∠B=30°，OD⊥BC，

∴OB=2OD，

∴AB=3OD，

∵AB=2AC=6，

∴OD=2，BD=2

S△BOD= ×ODBD=2 ，

∴所求图形面积为 ．

【解析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而求得半径r的值；②根据S阴影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可．