Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C(0，2

3

)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？

Answer 1

分析：（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）根据（1）得到的抛物线的解析式，可求出其对称轴方程联立直线OD的解析式即可求出D点的坐标；由于⊙D与x轴相切，那么D点纵坐标即为⊙D的半径；欲求劣弧EF的长，关键是求出圆心角∠EDF的度数，连接DE、DF，过D作y轴的垂线DM，则DM即为D点的横坐标，通过解直角三角形易求得∠EDM和∠FDM的度数，即可得到∠EDF的度数，进而可根据弧长计算公式求出劣弧EF的长；
（3）易求得直线AC的解析式，设直线AC与PG的交点为N，设出P点的横坐标，根据抛物线与直线AC的解析式即可得到P、N的纵坐标，进而可求出PN，NG的长；Rt△PGA中，△PNA与△NGA同高不等底，那么它们的面积比等于底边PN、NG的比，因此本题可分两种情况讨论：
①△PNA的面积是△NGA的2倍，则PN：NG=2：1；②△PNA的面积是△NGA的

1

2

，则NG=2PN；
可根据上述两种情况所得的不同等量关系求出P点的横坐标，进而由抛物线的解析式确定出P点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），C(0，2

3

)；
∴

4a+2b+c=0 36a+6b+c=0 c=2 3

，
解得

a= 3 6 b=- 4 3 3 c=2 3

；
∴抛物线的解析式为：y=

3

6

x2-

4

3

3

x+2

3

；（3分）

（2）易知抛物线的对称轴是x=4，
把x=4代入y=2x，得y=8，
∴点D的坐标为（4，8）；
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；（1分）
连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，
∴cos∠MDF=

1

2

；
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°；（2分）
∴劣弧EF的长为：

120

180

×π×8=

16

3

π；（1分）

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；
∵直线AC经过点A(2，0)，C(0，2

3

)，
∴

2k+b=0 b=2 3

，
解得

k=- 3 b=2 3

；
∴直线AC的解析式为：y=-

3

x+2

3

；（1分）
设点P(m，

3

6

m2-

4

3

3

m+2

3

)(m＜0)，PG交直线AC于N，
则点N坐标为(m，-

3

m+2

3

)，
∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN；
∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=

3

2

GN；
即

3

6

m2-

4

3

3

m+2

3

=

3

2

(-

3

m+2

3

)；
解得：m₁=-3，m₂=2（舍去）；
当m=-3时，

3

6

m2-

4

3

3

m+2

3

=

15

2

3

；
∴此时点P的坐标为(-3，

15

2

3

)；（2分）
②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；
即

3

6

m2-

4

3

3

m+2

3

=3(-

3

m+2

3

)；
解得：m₁=-12，m₂=2（舍去）；
当m=-12时，

3

6

m2-

4

3

3

m+2

3

=42

3

；
∴此时点P的坐标为(-12，42

3

)；
综上所述，当点P坐标为(-3，

15

2

3

)或(-12，42

3

)时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．（2分）

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图形面积的求法等知识，需要特别注意的是（3）题中，△PGA被直线AC所分成的两部分中，并没有明确谁大谁小，所以要分类讨论，以免漏解．