Question

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A．与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．

（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）

Answer 1

（1）BC所在直线与小圆相切，理由见试题解析；（2）BC=AD+AC，理由见试题解析；（3）16cm²．

试题分析：（1）只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切；
（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者；
（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．
试题解析：（1）BC所在直线与小圆相切．
理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC；又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE=OA，∴BC所在直线是小圆的切线；
（2）AC+AD=BC．理由如下：
连接OD．∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，∴CE=CA；∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，，∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），∴EB=AD；∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD；
（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，∴AC=6cm；∵BC=AC+AD，∴AD=BC﹣AC=4cm，∵圆环的面积为：S=π（OD）²﹣π（OA）²=π（OD²﹣OA²），又∵OD²﹣OA²=AD²，∴S=4²π=16π（cm²）．