题目内容
【题目】如图,在矩形 OABC中,OA=3,OC=5,分别以 OA、OC所在直线为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,D是边CB上的一个动点(不与C、B重合),反比例函数y=(k>0)的图象经过点D且与边BA交于点E,连接DE.
(1)连接OE,若△EOA的面积为2,则k=
(2)连接CA,DE与CA是否平行?请说明理由:
(3)是否存在点D,使得点B关于DE的对称点在OC上?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由:
【答案】
(1)4
(2)
解:连接AC,如图1,
设D(x,5),E(3,),则BD=3﹣x,BE=5﹣,=,=,∴=∴DE∥AC.
(3)
解:假设存在点D满足条件.设D(x,5),E(3,),则CD=x,BD=3﹣x,BE=5﹣,AE=.作EF⊥OC,垂足为F,如图2,
易证△B′CD∽△EFB′,∴,即=,∴B′F=,∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=,
∴CB′=OC﹣OB′=5﹣,在Rt△B′CD中,CB′=5﹣,CD=x,B′D=BD=3﹣x,由勾股定理得,CB′2+CD2=B′D2,
(5﹣)2+x2=(3﹣x)2,解这个方程得,x1=1.5(舍去),x2=0.96,∴满足条件的点D存在,D的坐标为D(0.96,5).
【解析】(1)连接OE,如,图1,∵Rt△AOE的面积为2,∴k=2×2=4.
(1)连接OE,根据反比例函数k的几何意义,即可求出k的值;(2)连接AC,设D(x,5),E(3,),则BD=3﹣x,BE=5﹣,得到=,从而求出DE∥AC.(3)假设存在点D满足条件.设D(x,5),E(3,),则CD=x,BD=3﹣x,BE=5﹣,AE=.作EF⊥OC,垂足为F,易得,△B′CD∽△EFB′,然后根据对称性求出B′E、B′D的表达式,列出 , 即= , , 从而求出(5﹣)2+x2=(3﹣x)2 , 即可求出x值,从而得到D点坐标.