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精英家教网如图,抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C(0,3),与x轴的两个交点分别为A(-1,0)、B(3,0),顶点为D.连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得四边形PEDF为平行四边形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)设点P的横坐标为m,△BCF的面积为S,求S关于m的函数关系式及S的最大值.
分析:(1)把点A、B、C的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求出a、b、c的值,即可得到函数解析式;
(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,再根据二次函数的解析式求出点D的坐标以及点E的坐标,从而得到DE的长度,设点P的横坐标为x,根据直线BC的解析式与二次函数的解析式求出PF的长度,然后根据平行四边形的对边平行且相等列式求解即可得到点P的横坐标,然后点P的坐标可求;
(3)把△BCF的面积分成△PBF与△PCF的面积的和,底边为PF,然后列式求解即可.
解答:解:(1)根据题意,
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3

解得
a=-1
b=2
c=3

∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;

(2)存在.
理由如下:设直线BC的解析式是y=kx+b,
b=3
3k+b=0

解得
k=-1
b=3

∴直线BC的解析式是y=-x+3,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线对称轴是x=1,顶点D的坐标是(1,4),
当x=1时,y=-1+3=2,
∴点E的坐标是(1,2),
∴DE=4-2=2,
设点P的横坐标是x,则点P的坐标是P(x,-x+3),点F的坐标是F(x,-x2+2x+3),
∴PF=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x,
若四边形PEDF是平行四边形,则PF=DE,
即-x2+3x=2,
解得x=2,x=1(舍去)
∴-x+3=-2+3=1,
∴点P的坐标是(2,1),
∴存在点P(2,1),使得四边形PEDF为平行四边形;

(3)根据(2)的结论,PF=-m2+3m,
设点B到PF的距离是h1,点C到PF的距离是h2
则S△BCF=S△PBF+S△PCF
=
1
2
×PF×h1+
1
2
×PF×h2
=
1
2
×PF×(h1+h2),
=
1
2
(-m2+3m)×3,
=-
3
2
(m-
3
2
2+
27
8

∴S关于m的函数关系式为S=-
3
2
(m-
3
2
2+
27
8

当m=
3
2
时,S的最大值为
27
8
点评:本题是对二次函数的综合考查,包括待定系数法求函数解析式,平行四边形的对边平行且相等的性质,分割法求三角形的面积,二次函数的最值问题,综合性较强,难度较大,同学们求解时一定要仔细分析、认真计算.
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