Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），顶点为D．连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得四边形PEDF为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）设点P的横坐标为m，△BCF的面积为S，求S关于m的函数关系式及S的最大值．

Answer 1

分析：（1）把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求出a、b、c的值，即可得到函数解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据二次函数的解析式求出点D的坐标以及点E的坐标，从而得到DE的长度，设点P的横坐标为x，根据直线BC的解析式与二次函数的解析式求出PF的长度，然后根据平行四边形的对边平行且相等列式求解即可得到点P的横坐标，然后点P的坐标可求；
（3）把△BCF的面积分成△PBF与△PCF的面积的和，底边为PF，然后列式求解即可．

解答：解：（1）根据题意，

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）存在．
理由如下：设直线BC的解析式是y=kx+b，
则

b=3 3k+b=0

，
解得

k=-1 b=3

，
∴直线BC的解析式是y=-x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线对称轴是x=1，顶点D的坐标是（1，4），
当x=1时，y=-1+3=2，
∴点E的坐标是（1，2），
∴DE=4-2=2，
设点P的横坐标是x，则点P的坐标是P（x，-x+3），点F的坐标是F（x，-x²+2x+3），
∴PF=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
若四边形PEDF是平行四边形，则PF=DE，
即-x²+3x=2，
解得x=2，x=1（舍去）
∴-x+3=-2+3=1，
∴点P的坐标是（2，1），
∴存在点P（2，1），使得四边形PEDF为平行四边形；

（3）根据（2）的结论，PF=-m²+3m，
设点B到PF的距离是h₁，点C到PF的距离是h₂，
则S_△BCF=S_△PBF+S_△PCF，
=

1

2

×PF×h₁+

1

2

×PF×h₂，
=

1

2

×PF×（h₁+h₂），
=

1

2

（-m²+3m）×3，
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

，
∴S关于m的函数关系式为S=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

，
当m=

3

2

时，S的最大值为

27

8

．

点评：本题是对二次函数的综合考查，包括待定系数法求函数解析式，平行四边形的对边平行且相等的性质，分割法求三角形的面积，二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，同学们求解时一定要仔细分析、认真计算．