题目内容
【题目】如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. 点D(2，3)在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点.
（1）求该抛物线对应的二次函数关系式；
（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为(0，n)，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形.①求n的值；②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.
【答案】（1）y=－x2+2x+3；（2）F（
，
）；（3）n=
，T(0，-)或n=-，T(0，).
【解析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）作FH⊥AD，过点F作FM⊥x轴，交AD与M，易知当S△FAD最大时，点F到直线AD距离FH最大，求出直线AD的解析式，设F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，表示出△FAD的面积，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分AP为对角线和AM为对角线两种情况求解即可.
解：（1）∵抛物线x轴相交于点A（－1，0），B（3，0），
∴设该抛物线对应的二次函数关系式为y=a(x+1)(x－3)，
∵点D（2，3）在抛物线上，
∴3=a×(2+1) ×(2－3)，
∴3=－3a，
∴a=－1，
∴y=－(x+1)(x－3)，
即y=－x2+2x+3；
（2）如图1，作FH⊥AD，过点F作FM⊥x轴，交AD与M，易知当S△FAD最大时，点F到直线AD距离FH最大，
设直线AD为y=kx+b，
∵A(－1，0)，D(2，3)，
∴
，
∴
，
∴直线AD为y=x+1.
设点F的横坐标为t，则F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，
∵S△FAD= S△AMF+ S△DMF=MF(Dx-Ax)
= ×3（－t2+2t+3-t-1）=×3(－t2+t+2)
=－
(t－)2+
，
∴即当t=时，S△FAD最大，
∵当x=时，y=－()2+2×+3=，
∴F(，)；
（3）∵y=－x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴顶点M(1，4).
当AP为对角线时，如图2，
设抛物线对称轴交x轴于点R，作PS⊥MR，
∵∠PMS+∠AMR=90°， ∠MAR+∠AMR=90°，
∴∠PMA=∠MAR，
∵∠PSM=∠ARM=90°，
∴△PMS∽△MAR，
∴
，
∴
，
∴MS=，
∴OP=RS=4+=，
∴n=；
延长QA交y轴于T，
∵PM∥AQ，
∴∠MPO=∠OAM，
∵∠MPS+∠MPO=90°， ∠OAT+∠OAM=90°，
∴∠MPS=∠OAT.
又∵PS=OA=1，∠PSM=∠AOT=90°，
∴△PSM≌△AOT，
∴AT=PM=AQ，OT=MS=.
∵AM⊥AQ，
∴T和Q关于AM对称，
∴T(0，-)；
当AQ为对角线时，如图3，
过A作SR⊥x轴，作PS⊥SR于S，作MR⊥SR于R，
∵∠RAM+∠SAP=90°， ∠SAP+∠SPA=90°，
∴∠RAM=∠SPA，
∵∠PSA=∠ARM=90°，
∴△PSA∽△ARM，
∴
，
∴
，
∴AS=，
∴OP=，
∴n=-；
延长QM交y轴于T，
∵QM∥AP，
∴∠APT=∠MTP，
∵∠OAP+∠APT=90°， ∠GMT+∠MTP=90°，
∴∠OAP=∠GMT.
又∵GM=OA=1，∠AOP=∠MGT=90°，
∴△OAP≌△GMT，
∴MT=AP=MQ，GT=OP=.
∵AM⊥TQ，
∴T和Q关于AM对称，
∵OT=4+=，
∴T(0，).
综上可知，n=，T(0，-)或n=-，T(0，).
