Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，-3），与x轴交于点B，且与直线y=3x-

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平行．
（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；
（2）如直线l上有一点M（a，-6），过点M作x轴的垂线，交直线y=3x-

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于点N，在线段MN上求一点P，使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，因为直线l与直线y=3x-

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平行，所以k=3，又直线l经过点A（2，-3），从而求出b的值，进而直线l的函数解析式及点B的坐标可求出；
（2）点M（a，-6）在直线l上，所以可先求出a的值，再分别分：当AB为斜边时；当PB为斜边时；当PA为斜边时，进行讨论求出满足题意的P点的坐标即可．

解答：解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l平行于y=3x-

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，
∴k=3，
∵直线l经过点A（2，-3），
∴-3=2×3+b，b=-9，
∴直线l的解析式为y=3x-9，点B坐标为（3，0）；

（2）∵点M（a，-6）在直线l上，
∴a=1，则可设点P（1，y），
∵N(1，

1

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)，∴y的取值范围是-6≤y≤

1

3

，
当AB为斜边时，PA²+PB²=AB²，即1+（y+3）²+4+y²=10，
解得y₁=-1，y₂=-2，∴P（1，-1），P（1，-2），
当PB为斜边时，PA²+AB²=PB²，即1+（y+3）²+10=4+y²，
解得y=-

8

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，∴P(1，-

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)，
当PA为斜边时，PB²+AB²=PA²，即10+4+y²=1+（y+3）²，
解得y=

2

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，（舍去），
∴综上所述，点P的坐标为P₁（1，-1），P₂（1，-2），P₃(1，-

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3

)

点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数与几何图形（直角三角形）问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，从已知函数图中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．