题目内容
【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣
x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．
（1）若直线AB与
有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）45°；（2）4≤b＜5；（3）存在 P（
， 
）．
【解析】试题分析：（1）①∠EOC和∠EFC是
所对的圆心角和圆周角，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半进行求解即可；
②过O作OM⊥FG于点M，连接OF，先求出一次函数图像与x轴、y轴交点A、B的坐标，然后根据勾股定理求出AB的长，进而利用面积法求出OM的长，再利用勾股定理表示出FM2，再由垂径定理得FG＝2FM，进而可以表示出FG2，再根据式子写出b的范围；
（2）根据前面结论OM＝
，当b＞5时，直线与圆相离，当b＝5时，直线与圆相切，连接OP，根据两直线垂直时比例系数的积为－1求出OP的解析式，然后联立两个解析式即可求出点P的坐标．
试题解析：
解：（1）①∵∠COE＝90°，
∴∠CFE＝
∠COE＝45°；
②如图，作OM⊥AB点M，连接OF，
∵直线的函数式为：y＝
，
∴B的坐标为（0，b），A的坐标为（
，0），
∴AB＝
＝
，
在Rt△OBC中，由面积法可得
OA·OB＝AB·OM，
易得：OM＝
，
∵OF＝4，
∴FM2＝OF2﹣OM2＝42﹣（
）2 ，
∵OM⊥FG，
∴FG＝2FM，
∴FG2＝4FM2＝4×[42﹣（
）2 ]＝64﹣
b2，
∵直线AB与
有两个交点F、G．
∴4≤b＜5；
（2）存在．
如图，
当b＞5时，OM＝
＞4，∴直线与圆相离，∠CPE＜45°；
当b＝5时，OM＝
＝4，∴直线与圆相切，
∵DE是直径，
∴∠DCE＝90°，
∵CO⊥DE，且DO＝EO，
∴∠ODC＝∠OEC＝45°，
∴∠CPE＝∠ODC＝45°，
∴存在点P，使∠CPE＝45°，
连接OP，
∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y＝
，
又∵AB所在的直线为：y＝
＋5，
解得
∴P（
， 
）．
