Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

3

5

，BC=6．
（1）填空：AB=

10

；
（2）现有一个⊙O经过点C，且与斜边AB相切于点D，又分别与边AC、BC相交于点E、F．
①若⊙O与边BC相切于点C时，如图1，求出此时⊙O的半径r；
②求⊙O的半径r的变化范围．

Answer 1

分析：（1）根据正弦的定义得到sinA=

BC

AB

=

3

5

，易计算出AB的长为10；
（2）①根据切线长定理得到BD=BC=6，则AD=AB-BD=4，利用勾股定理可计算出AC=8，然后在Rt△OAD中再根据勾股定理可计算出半径r=3；
②作高CD，当CD为⊙O的直径时，r最小，利用面积相等可计算出CD=

24

5

，则此时r=

1

2

CD=

12

5

，并且如图1时，即圆心O在AC上时r最大，于是⊙O的半径r的变化范围为

12

5

≤r≤3．

解答：解：（1）∵∠C=90°
∴sinA=

BC

AB

=

3

5

，
而BC=6，
∴AB=10．
故答案为10；
（2）①如图1，连OD，
∵BC、BA分别与⊙O切于C点、D点，
∴BD=BC=6，
∴AD=AB-BD=4，
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=8，
在Rt△OAD中，OA=AC-OC=8-r，AD=4，OD=r，
∵OA²=OD²+DA²，
∴（8-r）²=r²+4²，
∴r=3；
②如图3，作高CD，当CD为⊙O的直径时，r最小，

1

2

CD•AB=

1

2

AC•BC，即CD=

6×8

10

=

24

5

，
此时r=

1

2

CD=

12

5

，
当E和C重合，F点与A重合时半径最大，此时半径为

20

3

所以⊙O的半径r的变化范围为

12

5

≤r≤

20

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；圆的切线长相等；运用勾股定理进行几何计算是常用的方法．