Question

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）．
在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．
（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，请说明理由；
（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①若CF=CD，求sin∠CAB的值；
②若

CF

CD

=n（n＞0），试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）．

Answer 1

分析：（1）连接AE，由图不难看出OD是三角形ABC的中线，那么OD=

1

2

CE，又因为OD是半径，AE是直径，因此AE=CE；
（2）若CD=CF，那么AD=CD=CF，由图不难得出Rt△ADE∽Rt△EDF，那么就可用AD，DF表示出DE，然后根据直角三角形CDE中，CE²=CD²+DE²，这样就能表示出CE了，那么∠CED的正弦函数也就求出来了，∠CAB的正弦值也就有了．

解答：解：（1）连接AE，
求证：AE=CE．
证明：如图，连接OD，
∵∠ABC=90°，CB的延长线交⊙O于点E，
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O的直径，
∵D是AC的中点，O是AE的中点，
∴OD=

1

2

CE
∵OD=

1

2

AE
∴AE=CE．

（2）①根据题意画出图形，如图，连接DE，
∵AE是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，
∴∠ADE=∠AEF=90°，
∴Rt△ADE∽Rt△EDF，
∴

AD

DE

=

DE

DF

．
设AD=k（k＞0），则DF=2k，
∴

k

DE

=

DE

2k

，
∴DE=

2

k．
在Rt△CDE中，
∵CE²=CD²+DE²=k²+（

2

k）²=3k²，
∴CE=

3

k，
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE，
∴∠CAB=∠DEC，
sin∠CAB=sin∠DEC=

CD

CE

=

3

3

．
②sin∠CAB=

n+2

n+2

（n＞0）．

点评：本题综合考查了切线的性质，相似三角形，解直角三角形等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大．