题目内容

已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

解：（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-2），
∵-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴y=x²-x-2，其顶点坐标是（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；

（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b，点N的坐标为N（h，-t），
则 $\text{[math]}$ ，
解它们组成的方程组得： $\text{[math]}$ ，
所以线段BM所在的直线的解析式为：y= $\text{[math]}$ x-3，
N点纵坐标为：-t，
∴-t= $\text{[math]}$ h-3，
∴h=2- $\text{[math]}$ t，
其中 $\text{[math]}$ ＜h＜2，
∴s= $\text{[math]}$ （2+t）（2- $\text{[math]}$ t）=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+3，
∴s与t间的函数解析式为，
s=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+3，
∵M点坐标是（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；
∴QN最大值为： $\text{[math]}$ ，
∴自变量的取值围是： $\text{[math]}$ ；

（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₂（ $\text{[math]}$ ）．
设点P的坐标为P（m，n），则 n=m²-m-2，PA²=（m+1）²+n²
PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，

分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若∠APC=90°则AC²=PC²+AP²．
可得：m²+（n+2）²+（m+1）²+n²=5，
解得： $\text{[math]}$ ，m₂=-1（舍去）．
所以点P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC²=PA²+AC²
∴n=m²-m-2
（m+1）²+n²=m²+（n+2）²+5
解得： $\text{[math]}$ ，m₄=0（舍去）．所以点P（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是点P（-1，-2），以点A，点C为矩形的两顶点，

第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是P₁（-1，-2），P₂（- $\text{[math]}$ ）或
（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）利用交点式可以求出二次函数解析式，再利用公式法求出顶点坐标，
（2）运用两点求出直线BM解析式，再表示出四边形面积，
（3）根据使△PAC为直角三角形，三个角依次分析当等于直角时，得出不同结论．
（4）作出矩形，利用勾股定理可以求出．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及顶点坐标计算，四边形面积计算，矩形的性质等，综合性比较强．