Question

【题目】某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABCD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．
（2）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1，

因为y1=k1x+b1的图象过（0，60）与（90，42），

所以 ，

解方程组得 ，

这个一次函数的表达式为y1=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；

（2）解：设y2与x之间的函数表达式为y2=k2x+b2，

因为y2=k2x+b2的图象过（0，120）与（130，42），

所以 ，

解方程组得 ，

这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），

设产量为xkg时，获得的利润为W元．

①当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，

∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；

②当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，

∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，

由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，

∴90≤x≤130时，W≤2160，

因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．

【解析】（1）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）利用总利润=单位利润×产量，列出有关x的二次函数，求得最值即可．