Question

【题目】在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.

(1)求∠EFD的度数；

(2)判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）FE＝FD. 见解析

【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义计算求解；
（2）在AC上截取AG=AE，则EF=FG；根据ASA证明△FGC≌△FDC，得DF=FG，故判断EF=FD．

试题解析：(1)∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝30°.

∵AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝∠BAC＝15°，∠FCA＝∠ACB＝45°.

∴∠AFC＝180°－∠FAC－∠FCA＝120°，

∴∠EFD＝∠AFC＝120°.

(2)结论：FE＝FD.

证明：如图，在AC上截取AG＝AE，连接FG，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠EAF＝∠GAF.在△FAE和△FAG中，

AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴FE＝FG，∠AFE＝∠AFG.

∵∠EFD＝120°，

∴∠DFC＝60°，∠AFG＝∠AFE＝60°，

∴∠CFG＝60°＝∠DFC.

∵EC平分∠BCA，

∴∠DCF＝∠FCG＝45°.

在△FGC和△FDC中，

∵∠GFC=∠DFC，FC=FC，∠FCG=∠FCD，

∴△FGC≌△FDC(ASA)，

∴FG＝FD，

∴FE＝FD.