Question

如图，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB(中点除外)上的动点，以点M为圆心，OM的长为半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D．
（1）设点M的横坐标为a，则点C的坐标为         ，点D的坐标为          （用含有a的代数式表示）；
（2）求证：AC=BD；
（3）若过点D作直线AB的垂线，垂足为E．
①求证： AB=2ME；
②是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

⑴C（2a，0），D（0，2a+8）
⑵方法一：由题意得：A（－4，0），B（0，4）
－4＜a＜0，且a≠2，
① 当2a+8＜4，即－4＜a＜－2时
AC=－4－2a，BD=4－（2a+8）=－4－2a
∴AC=BD
② 当2a+8＞4，即－2＜a＜0时
同理可证：AC=BD
综上：AC=BD
方法二：①当点D在B、O之间时，
连CD，∵∠COD＝90°
∴圆心M在CD上，
过点D作DF∥AB，
∵点M为CD中点，
∴MA为△CDF中位线，
∴AC＝AF，
又DF∥AB，
∴，
而BO＝AO   
∴AF=BD
∴AC＝BD
②点D在点B上方时，同理可证：AC=BD
综上：AC=BD
⑶方法一
①A(－4,0)，B(0，4)，D(0，2a+8)，M(a，a+4)，△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，
E的纵坐标为a+6，∴ME=(y_E－y_M)==2
AB=4
∴AB=2ME
②AM=( y_M－y_A)＝(a+4)，BE=|y_E－y_B|=|a+2|，
∵AM=BE
又－4＜a＜0，且a≠2，
1⁰ 当－4＜a＜－2时
(a+4)= －(a+2)
∴a=－3
M（－3，1）
2⁰ 当－2＜a＜0时
(a+4)= (a+2)
∴a不存在
方法二：
①当点D在B、O之间时，作MP⊥x轴于点P、MQ⊥y轴于点Q，取AB中点N，
在Rt△MNO与Rt△DEM中，MO＝MD
∠MON＝45⁰－∠MOP
∠EMD＝45⁰－∠DMQ＝45⁰－∠OMQ＝45⁰－∠MOP
∴∠MON＝∠EMD
∴Rt△MNO≌Rt△DEM
∴MN＝ED＝EB
∴AB＝2NB＝2（NE＋EB）＝2（NE＋MN）＝2ME
当点D在点B上方时，同理可证
②当点D在B、O之间时，
由①得MN=EB，
∴AM=NE 
若AM=BE，则AM=MN=NE=EB=AB=
∴M（－3，1）
点D在点B上方时，不存在。

（1）直接利用垂径定理可知C（2a，0），D（0，2a+8）；
（2）本题可用直角坐标系中两点间的距离公式分别求算出AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，所以AC=BD；
（3）①根据A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），可知△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，E的纵坐标为a+6，可求得，，所以AB=2ME；
②AM=( －)＝(a+4)，BE=||=|a+2|，AM=BE，结合条件-4＜a＜0，且a≠2，a=-3，可知M（-3，1）；当-2＜a＜0时，a不存在。