题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,交⊙O于点E,连结CE、AE、CD,若∠AEC=∠ODC.
(1)求证:直线CD为⊙O的切线;
(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°,即可得出答案;
(2)利用圆周角定理得出∠ACB=90°,利用相似三角形的判定与性质得出DC的长.
试题解析:(1)连接OC,
∵∠CEA=∠CBA,∠AEC=∠ODC,
∴∠CBA=∠ODC,
又∵∠CFD=∠BFO,
∴∠DCB=∠BOF,
∵CO=BO,
∴∠OCF=∠B,
∵∠B+∠BOF=90°,
∴∠OCF+∠DCB=90°,
∴直线CD为⊙O的切线;
(2)连接AC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠DCO=∠ACB,
又∵∠D=∠B,
∴△OCD∽△ACB,
∵∠ACB=90°,AB=5,BC=4,
∴AC=3,
∴,即,
解得:DC=.
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