题目内容

【题目】如图,AB⊙O的直径,OD⊥BC于点F,交⊙O于点E,连结CEAECD,若∠AEC=∠ODC

1)求证:直线CD⊙O的切线;

2)若AB=5BC=4,求线段CD的长.

【答案】(1)证明见解析;(2

【解析】试题分析:(1)利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°,即可得出答案;

2)利用圆周角定理得出∠ACB=90°,利用相似三角形的判定与性质得出DC的长.

试题解析:(1)连接OC

∵∠CEA=∠CBA∠AEC=∠ODC

∴∠CBA=∠ODC

∵∠CFD=∠BFO

∴∠DCB=∠BOF

∵CO=BO

∴∠OCF=∠B

∵∠B+∠BOF=90°

∴∠OCF+∠DCB=90°

直线CD⊙O的切线;

2)连接AC

∵AB⊙O的直径,

∴∠ACB=90°

∴∠DCO=∠ACB

∵∠D=∠B

∴△OCD∽△ACB

∵∠ACB=90°AB=5BC=4

∴AC=3

,即

解得:DC=

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