题目内容

【题目】已知⊙O为△ABC的外接圆,圆心O在AB上.

(1)在图1中,用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D(保留作图痕迹,不写作法与证明);

(2)如图2,设∠BAC的平分线AD交BC于E,⊙O半径为5,AC=4,连接OD交BC于F.

①求证:OD⊥BC;

②求EF的长.

【答案】(1)作图见试题解析;(2)证明见试题解析;

【解析】

试题分析:(1)按照作角平分线的方法作出即可;

(2)①由AD是∠BAC的平分线,得到,再由垂径定理推论可得到结论;

勾股定理求得CF的长,然后根据平行线分线段成比例定理求得,即可求得,继而求得EF的长.

试题解析:(1)尺规作图如图1所示:

(2)①如图2,AD平分BAC,∴∠DAC=BAD, OD过圆心,ODCB;

AB为直径,∴∠C=90°ODCB,∴∠OFB=90°ACOD,,即OF=2,FD=5﹣2=3,在RTOFB中,BF===ODBC,CF=BF=ACOD,∴△EFD∽△ECA,EF=CF==

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