Question

如图，圆锥的底面半径OA=2cm，高为PO=4

2

cm，现有一个蚂蚁从A出 发引圆锥侧面爬到母线PB的中点，则它爬行的最短路程为（　　）

• A．3

  3

  cm
• B．6cm
• C．4

  3

  cm
• D．6

  3

  cm

Answer 1

分析：沿PA剪开展开后得出扇形PAA′，连接AA′交PB于N，连接AM，则AM的长为蚂蚁爬行的最短路程由勾股定理求出PA=PB=6（cm），求出弧AB的长，求出弧AB对的圆心角，在Rt△PNA中，求出PN=3，AN=3

3

，求出PM=BM=

1

2

PB=3cm，即可得出M和N重合，得出即可．

解答：
解：沿PA剪开展开后得出扇形PAA′，连接AA′交PB于N，连接AM，则AM的长为蚂蚁爬行的最短路程，
∵由勾股定理得：PA=PB=

AO2+PO2

=

22+(4 2 )2

=6（cm），
∴弧AB=

1

2

×（2π×2）=2π（cm），
∴弧AB对的圆心角是

2π

6

=

1

3

π=60°，
∴在Rt△PNA中，PN=PA•cos60°=3cm，AN=PA•sin60°=3

3

（cm），
∵M为PB中点，
∴PM=BM=

1

2

PB=

1

2

×6cm=3cm，
即M和N重合，
∴AM=AN=3

3

cm，
故选A．

点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，求弧长公式，最短路线问题的应用，主要考查学生的计算能力．