题目内容

【题目】如图,已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一动点,M、N、E分别是PD、PC、CD的中点.

(1)求证:四边形PMEN是平行四边形;

(2) 当AP为何值时,四边形PMEN是菱形?并给出证明

【答案】(1)证明见解析;(2)当PA=5时,四边形PMEN为菱形,理由见解析.

【解析】分析:(1)用三角形的中位线定理证明四边形PMEN的两组对边分别平行;(2)(1)得四边形PMEN是平行四边形,只需证PMPN,即PCPD,故要证APD≌△BPC.

详解:(1)∵ME分别为PDCD的中点,∴MEPC

同理可证:MEPD

∴四边形PMEN为平行四边形;

(2)PA=5时,四边形PMEN为菱形.

理由:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=90°,ADBC

AP=5,ABCD=10,∴APBP

在△APD和△BPC中,

APBP,∠A=∠BADBC

∴△APD≌△BPC(SAS),∴PDPC

MNE分别是PDPCCD的中点,

ENPMPDPNEMPC,∴PMEMENPN

∴四边形PMEN是菱形.

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