Question

如图，在Rt△ABC中，AC=2AB，∠BAC=90°，D是AC的中点，在Rt△DEA中，∠AED=90°，∠EAD=45°，连结BE、CE，试猜想BE和EC的关系，并证明你的猜想．
（1）猜想：

数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC

；
（2）证明：

∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=

1

2

AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中，

AE=DE ∠EAB=∠EDC AB=DC

，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥EC

．

Answer 1

分析：数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰直角三角形的性质，即可证得：△EAB≌△EDC即可证明．

解答：（1）解：数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC；

（2）证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=

1

2

AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中，

AE=DE ∠EAB=∠EDC AB=DC

，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥EC．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与应用，证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等．