Question

如图，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于，过点的切线与AD的延长线交于点．
（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．
（2）若cos∠C=

4

5

，DF=3，求⊙O的半径．
（3）猜测线段AE、BE、CN、CB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由弦CD⊥AB，M是AD的中点，得到EM为直角三角形AED斜边上的中线，则MA=ME，∠A=∠AEM，根据对顶角相等和同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠AEM=∠BEN，∠ADE=∠EBN，则∠BEN+∠EBN=∠A+∠ADE=90°，则∠ENB=90°，即可得到结论；
（2）连BD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到∠ABF=90°，利用相似三角形的判定易得Rt△FBD∽Rt△FAB，则FB：AF=DF：BF，即FB²=FD•FA，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得∠A=∠C，则cos∠A=

4

5

，在Rt△ABF中，cos∠A=

AB

AF

=

4

5

，不妨设AB=4x，则AF=5x，利用勾股定理可计算出BF=3x，则（3x）²=3•5x，解得x=

5

3

，易得到AB的长，即可得到⊙O的半径；
（3）由AB⊥CD，根据垂径定理得到CE=DE，易证得Rt△AED∽Rt△DEB，Rt△CEB∽Rt△CNE，则AE：DE=DE：BE，即DE²=AE•BE，CE：CN=CB：CE，即CE²=CN•CB，则可得AE•BE=CN•CB．

解答：（1）证明：∵弦CD⊥AB，M是AD的中点，
∴MA=ME，
∴∠A=∠AEM，
而∠AEM=∠BEN，∠ADE=∠EBN，
∴∠BEN+∠EBN=∠A+∠ADE=90°，
∴∠ENB=90°，
∴MN⊥BC；

（2）解：连BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵FB为⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴Rt△FBD∽Rt△FAB，
∴FB：AF=DF：BF，即FB²=FD•FA，
∵∠A=∠C，cos∠C=

4

5

，
∴cos∠A=

4

5

，
在Rt△ABF中，cos∠A=

AB

AF

=

4

5

，不妨设AB=4x，则AF=5x，
∴BF=

(5x)2-(4x)2

=3x，
∴（3x）²=3•5x，解得x₁=

5

3

，x₂=0
∴x=

5

3

，
∴AB=4x=

20

3

，
∴⊙O的半径为

10

3

；

（3）解：线段AE、BE、CN、CB之间的数量关系为AE•BE=CN•CB．理由如下：
∵AB⊥CD，
∴CE=DE，∠AED=90°，
而∠ADB=90°，
∴∠A=EDB，
∴Rt△AED∽Rt△DEB，
∴AE：DE=DE：BE，即DE²=AE•BE①，
又∵∠CEB=∠CNE=90°，
∴Rt△CEB∽Rt△CNE，
∴CE：CN=CB：CE，即CE²=CN•CB②，
由①②得AE•BE=CN•CB．

点评：本题考查了圆的综合题：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；圆的切线垂直于过切点的半径；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；运用相似三角形的判定与性质可得到线段的比例关系；运用勾股定理和三角函数进行几何计算．