Question

如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．
（1）∠OCD的平分线CE交⊙O于E，连接OE．求证：E为

ADB

的中点；
（2）如果⊙O的半径为1，CD=

3

．
①求O到弦AC的距离；
②填空：此时圆周上存在

 

个点到直线AC的距离为

1

2

．

Answer 1

分析：（1）要求证：E为

ADB

的中点，即要证明CD⊥AB，根据垂径定理就可以；
（2）根据垂径定理，CH=

1

2

CD=

3

2

，在直角△OCH中，根据勾股定理就可以求出求O到弦AC的距离OH的长度．

解答：（1）证明：∵OC=OE
∴∠E=∠OCE（1分）
又∠OCE=∠DCE
∴∠E=∠DCE
∴OE∥CD（2分）
又OE⊥AB
∴∠AOE=∠BOE=90°
∴E为

ADB

的中点；（3分）

（2）解：①∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，CD=

3

∴CH=

1

2

CD=

3

2

（4分）
又OC=1
∴sin∠COB=

CH

OC

=

3 2

1

=

3

2

∴∠COB=60°（5分）
∴∠BAC=30°
作OP⊥AC于P，则OP=

1

2

OA=

1

2

；（6分）
②OP=

1

2

，则MP=

1

2

，即M到AC的距离是

1

2

，在

AC

上其它点到AC的距离一定小于

1

2

；
在

ADB

上一定有2个点到AC的距离等于

1

2

．
故圆上有3点到AC的距离是

1

2

．
故答案是：3．（7分）

点评：本题主要考查了垂径定理，可以把求弦长，弦心距的问题转化为解直角三角形的问题．