题目内容
【题目】抛物线M：y=ax2-4ax+a-1（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D．
（1）抛物线M的对称轴是直线______；
（2）当AB=2时，求抛物线M的函数表达式以及顶点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线l：y=kx+b（k≠0）经过抛物线的顶点D，直线y=n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1，x2，直线y=n与直线l的交点的横坐标记为x3（x3＜4），若当-2≤n≤-1时，总有x1-x3＜x3-x2＜0，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）x=2；（2）y=
x2+2x
，顶点D的坐标为（2，
）；（3）k的取值范围：
【解析】
（1）根据对称轴的公式进行计算即可；
（2）根据抛物线的对称性以及对称轴，分别求出A、B两点坐标，然后再代入抛物线解析式中求出a值，即可解答；
（3）根据题意，画出函数图象，然后根据函数的图象直接求出k的取值范围即可．
解：（1）∵抛物线M：y=ax2-4ax+a-1（a≠0），
∴抛物线的对称轴直线为：x=-
=
=2．
故答案为：x=2；
（2）∵抛物线M：y=ax2-4ax+a-1（a≠0）的对称轴为直线x=2，抛物线M与x轴的交点为点A，点B，（点A在点B的左侧），AB=2，
∴点A、B的坐标分别为（1，0），（3，0），
将A的坐标代入抛物线的函数表达式，得a-4a+a-1=0，
解得a=-，
∴抛物线M的函数表达式为：y=x2+2x，
将抛物线M的函数表达式化为顶点式为：y=x2+2x=（x-2）2+，
∴顶点D的坐标为（2，）；
（3）如图，由（2）知点D的坐标为（2，）．
∵直线y=n与直线l的交点横坐标记为x3（x3＜4），且当-2≤n≤-1时，总有x1-x3＜x3-x2＜0，
∴直线l与y轴的交点在（0，-2）的下方，
∴b＜-2，
∵直线l：y=kx+b（k≠0）经过抛物线的顶点D，
∴2k+b=，∴b=-2k，
∴-2k＜-2，解得k＞
．
故k的取值范围：k＞．
