题目内容
【题目】如图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB,AC于M,N,连接MN.求△AMN的周长.
【答案】△AMN的周长为2.
【解析】
根据已知条件得△CDE≌△BDM,再利用DE=DM,证明△DMN≌△DEN,得到对应边相等即可解题.
如图,延长NC到E,使CE=BM,连接DE,
∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,
∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,
∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°,
又∵BM=CE,BD=CD,
∴△CDE≌△BDM,
∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,
∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°,
∵在△DMN和△DEN中,
,
∴△DMN≌△DEN,
∴MN=NE=CE+CN=BM+CN,
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2,故△AMN的周长为2.

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