题目内容

【题目】如图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB,ACM,N,连接MN.求△AMN的周长.

【答案】△AMN的周长为2.

【解析】

根据已知条件得△CDE≌△BDM,再利用DE=DM,证明△DMN≌△DEN,得到对应边相等即可解题.

如图,延长NCE,使CE=BM,连接DE,

∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,

∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°,

∵BM=CE,BD=CD,

∴△CDE≌△BDM,

∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°,

△DMN△DEN中,

∴△DMN≌△DEN,

∴MN=NE=CE+CN=BM+CN,

∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2,故△AMN的周长为2.

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