Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
（1）用直尺和圆规在边BC上求作一点P，使P到C的距离与P到AB的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AP，求AP的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，点P即为所求
（2）】解：在Rt△ABC中，∵AB2=AC2+BC2=62+82=100，

∴AB=6．

∵PC⊥AC，PD⊥AB，

∴PC=PD，

在Rt△ACP与Rt△ADP中，

∵ ，

∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），

∴AD=AC=6，BD=AB﹣AD=4．

设CP=PD=x，则PB=BC﹣PC=8﹣x；

在Rt△BDP中，∵PB2=PD2+BD2，

∴（8﹣x）2=x2+42，x=3，

∴PC=3，

在Rt△ACP中，

∵AP2=AC2+PC2=62+32=45，

∴AP=3 ．

【解析】（1）作∠A的平分线交BC于点P即可；（2）先根据勾股定理求出AB的长，根据HL定理得出Rt△ACP≌Rt△ADP，故可得出AD，BD的长，设CP=PD=x，则PB=BC﹣PC=8﹣x，在Rt△BDP中中根据勾股定理求出x的值，同理，在Rt△ACP中根据勾股定理求出PC的值即可．
【考点精析】掌握角平分线的性质定理和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．