Question

已知：如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A（0，6），D（4，6），且AB=2

10

．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过B、D两点的抛物线y=ax²+bx+6的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC=

1

2

S梯形ABCD？若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）易得AO长，那么可利用勾股定理求得BO长，进而求得B坐标；
（2）把B，D坐标代入抛物线y=ax²+bx+6即可求得抛物线解析式；
（3）易求得梯形的面积，也就得到了梯形的面积的一半的值．设P的纵坐标为y，那么S_△BCP=

1

2

×BC×|y|，可得y的两个值代入（2）中的函数解析式即可求得相应的x的值．

解答：（本题满分14分）
解：（1）在Rt△ABC中，AB=2

10

，OA=D_纵坐标=6，
∴BO=

AB2-AO2

=2，
∵点B在x轴的负半轴上
∴B（-2，0）；

（2）依题意，
得

4a-2b+6=0 16a+4b+6=6

，
解这个方程组，得

a=- 1 2 b=2

，
∴y=-

1

2

x2+2x+6；

（3）∵A（0，6），D（4，6）
∴AD=4
过点D作DE⊥x轴于点E，则四边形DEOA是矩形，
有DE=OA=6，AD=OE=4
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴CD=AB=2

10

由勾定理得：CE=

DC2-CE2

=

(2 10 )2-62

=2
∴OC=2+4=6
∴C（6，0）
∵B（-2，0）
∴BC=8
∴S梯形ABCD=

1

2

×(4+8)*6=36
∵S△PBC=

1

2

S梯形ABCD
∴S△PBC=

1

2

*36=18
设点P的坐标为（x，y），则△PBC的BC边上的高为|y|
∴

1

2

×8×|y|=18
∴y=±

9

2

∴p1(x，

9

2

)，p2(x，-

9

2

)
∵点p1(x，-

9

2

)在抛物线上
∴-

1

2

x2+2x+6=-

9

2

解这个方程得：x₁=-3，x₂=7
点P₁的坐标为(-3，-

9

2

)，(7，-

9

2

)
同理可求得：P₂的坐标为(2+

7

，

9

2

)，(2-

7

，

9

2

)
所P点坐标为(-3，-

9

2

)，(7，-

9

2

)，(2+

7

，

9

2

)，(2-

7

，

9

2

)．

点评：本题考查用勾股定理求解线段长；用待定系数法求函数解析式，需注意到一条线段距离为定值的点的纵坐标有2个．