题目内容
阅读材料：如图在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P．求证：S四边形ABCD=
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证明：AC⊥BD?
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∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=
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=
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解答问题：
（1）上述证明得到的性质可叙述为
（2）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述的性质求梯形的面积．
分析：本题的关键是求出AC，BD的长，可过A，D分别作BC的垂线AE，DF，在直角三角形BFD中，可根据两底的差求出BE，CF的长，也就求出了BF，CE的长，要求BD还需知道直角三角形中一个锐角的度数，可通过全等三角形ACB和DBC得出∠DBC=∠ACB=45°，由此可得出BD，AC的长，进而根据题目给出的面积计算方法求出梯形的面积．
解答：
解：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半；
（2）方法一：
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∵BD=AC，AB=CD，BC=BC
∴△ABC≌△DBC
∴∠ACB=∠DBC=45°，
在直角三角形BPC中，∠DBC=45°，BP=
=
=
=
BC=
，
同理可得PD=
，BD=BP+PD=5
．
又等腰梯形对角线相等，即BD=AC=5
cm
∴S梯形=
•BD•AC=25（cm2）；
方法二：作DE∥AC交BC延长线于点E，作DM⊥BC于点M，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AC=BD，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AC=DE=BD，AD=CE，
∵对角线AC⊥BD且相交于点P，
∴∠BDE=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵AD=3cm，BC=7cm，
∴BE=10cm，
∴DM=5cm，
∴S梯形=
•MD•BE=25（cm2）．
解：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半；（2）方法一：
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∵BD=AC，AB=CD，BC=BC
∴△ABC≌△DBC
∴∠ACB=∠DBC=45°，
在直角三角形BPC中，∠DBC=45°，BP=
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| cos∠DBC |
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| cos45° |
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同理可得PD=
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又等腰梯形对角线相等，即BD=AC=5
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∴S梯形=
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方法二：作DE∥AC交BC延长线于点E，作DM⊥BC于点M，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AC=BD，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AC=DE=BD，AD=CE，
∵对角线AC⊥BD且相交于点P，
∴∠BDE=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵AD=3cm，BC=7cm，
∴BE=10cm，
∴DM=5cm，
∴S梯形=
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点评：本题主要考查了等腰梯形性质的应用，根据等腰梯形的性质得出∠DBC等于45°是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
，BO＝AO．又∵AG⊥EB，∠1＋∠3＝
＝∠2＋∠3∴∠1＝∠2，∴Rt△BOE≌Rt△AOF解答此题后某同学产生了如下猜想：对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，AG交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于F，其它条件不变，如图，则仍有OE＝OF．问猜想所得的结论是否成立，请说明理由．
