题目内容

【题目】△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α(0°<α≤90°),点F,G,P分别是DE,BC,CD的中点,连接PF,PG.

(1)如图①,α=90°,点DAB上,则∠FPG= °;

(2)如图②,α=60°,点D不在AB上,判断∠FPG的度数,并证明你的结论;

(3)连接FG,若AB=5,AD=2,固定△ABC,将△ADE绕点A旋转,则PF长度的最大值为 ;PF长度的最小值为

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【答案】(1)∠GPF=90°;(2))FPG=120°,理由详见解析;(3)

【解析】

(1)由AB=AC、AD=AE,得出BD=CE,再根据G、P、F分别是BC、CD、DE的重点,可以得出PG∥BD,PF∥CE.则∠GPF=180°-∠α=90°

(2)连接BD、CE,由已知可以证明△ABD≌△ACE,则∠ABD=∠ACE,因为G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,则PG∥BD,PF∥CE,进而得出∠GPF=180°-∠α=120°.

(3)当DBA的延长线上时,CE=BD最长,此时BD=AB+AD=7;

(1)AB=AC、AD=AE,

BD=CE,

G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,

PGBD,PFCE.

∴∠ADC=DPG,DPF=ACD,

∴∠GPF=DPF+DPG=ADC+ACD=180°-BAC=180°-α=90°,

即∠GPF=90°;

(2)FPG=120°;理由如下:

连接BD,连接CE.如图②

∵∠BAC=DAE,

∴∠BAD=CAE,在ABDACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴∠ABD=ACE,

G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,

PGBD,PFCE.

∴∠PGC=CBD,DPF=DCE=DCA+ACE=DCA+ABD,DPG=PGC+BCD=CBD+BCD,

∴∠GPF=DPF+DPG=DCA+ABD+CBD+BCD=180°-BAC=180°-α=120°,

即∠GPF=120°;

(3)

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