题目内容
【题目】△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α(0°<α≤90°),点F,G,P分别是DE,BC,CD的中点,连接PF,PG.
(1)如图①,α=90°,点D在AB上,则∠FPG= °;
(2)如图②,α=60°,点D不在AB上,判断∠FPG的度数,并证明你的结论;
(3)连接FG,若AB=5,AD=2,固定△ABC,将△ADE绕点A旋转,则PF长度的最大值为 ;PF长度的最小值为 ;
第27题
【答案】(1)∠GPF=90°;(2))∠FPG=120°,理由详见解析;(3);
【解析】
(1)由AB=AC、AD=AE,得出BD=CE,再根据G、P、F分别是BC、CD、DE的重点,可以得出PG∥BD,PF∥CE.则∠GPF=180°-∠α=90°
(2)连接BD、CE,由已知可以证明△ABD≌△ACE,则∠ABD=∠ACE,因为G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,则PG∥BD,PF∥CE,进而得出∠GPF=180°-∠α=120°.
(3)当D在BA的延长线上时,CE=BD最长,此时BD=AB+AD=7;
(1)∵AB=AC、AD=AE,
∴BD=CE,
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,
∴PG∥BD,PF∥CE.
∴∠ADC=∠DPG,∠DPF=∠ACD,
∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-∠α=90°,
即∠GPF=90°;
(2)∠FPG=120°;理由如下:
连接BD,连接CE.如图②
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,
∴PG∥BD,PF∥CE.
∴∠PGC=∠CBD,∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD,∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD,
∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α=120°,
即∠GPF=120°;
(3);