Question

如图1，在?ABCD中，AO⊥BC，垂足为O，已知∠ABC=60°，BO=2，AO=2．
（1）求线段AB的长；
（2）如图2，点E为线段AB的中点，过点E的直线FG与CB的延长线交于点F，与射线AD交于点G，连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线AD的交点为H．
①当点G在点H的左侧时，求证：△AEG∽△AHE；
②若HG=6，求AG的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用勾股定理可求AB；（2）①由于AD∥CF，∠F=∠AGE，∠F=∠EF′O，OB=BE=2，∠ABC=60°，易证△BOE是等边三角形，那么∠EOF′=60°，∠F′OC=60°，于是OF′∥AB，根据平行线的性质可知∠AEH=∠EF′O，易证△AEG∽△AHE；②由①中，△AEG∽△AHE可得AE：AH=AG：AE，
设AG=x，再分情况讨论，一种是点H在点G的右侧时；另一种是点H在点G的左侧时，分别计算即可．
解答：解：（1）∵AO⊥BC，BO=2，AO=2，
∴AB===4；

（2）①证明：AD∥CF，∠F=∠AGE，∠F=∠EF′O，OB=BE=2，∠ABC=60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴∠EOF′=60°，∠F′OC=60°，
∴OF′∥AB，
∴∠AEH=∠EF′O，
∴∠AEH=∠AGE，∠EAG=∠EAG，
∴△AEG∽△AHE；
②由①知△AEG∽△AHE，
∴AE：AH=AG：AE，
即AE²=AH•AG，设AG=x，
当点H在点G的右侧时，
∴4=x（x+6），
解得取；
当点H在点G的左侧时，
∴4=x（x-6），
解得，取．
点评：本题考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、分情况讨论、解一元二次方程．