Question

如图，一次函数y=2x﹣2的图象与x轴、y轴分别相交于B、A两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M（3，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）y=   （2）存在．理由见解析

试题分析：（1）先把M（3，m）代入y=2x﹣2求出m，确定M点的坐标，然后利用待定系数法确定反比例函数解析式；
（2）先确定A点坐标为（0，﹣2），B点坐标为（1，0），再根据勾股定理计算出AB=；根据M点坐标得到MC=4，BC=2，则利用勾股定理可计算出BM=2，然后证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出BP，于是可确定P点坐标．
解：（1）把M（3，m）代入y=2x﹣2得m=2×3﹣2=4，
∴M点坐标为（3，4），
把M（3，4）代入y=得k=3×4=12，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）存在．
作MC⊥x轴于C，如图，
把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2；把y=0代入y=2x﹣2得2x﹣2=0，解得x=1，
∴A点坐标为（0，﹣2），B点坐标为（1，0），
∴OA=2，OB=1，
在Rt△OAB中，AB==，
∵M点坐标为（3，4），
∴MC=4，BC=3﹣1=2，
在Rt△MBC中，MB==2，
∵MA⊥MB，
∴∠BMP=90°，
而∠OBA=∠MBP，
∴Rt△OBA∽Rt△MBP，
∴=，即=，
∴BP=10，
∴OP=11，
∴点P的坐标为（11，0）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．