题目内容
(2012•市中区一模)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:∠DAF=∠CDE;
(2)问△ADF与△DEC相似吗?为什么?
(3)若AB=4,AD=3
,AE=3,求AF的长.
(1)求证:∠DAF=∠CDE;
(2)问△ADF与△DEC相似吗?为什么?
(3)若AB=4,AD=3
3 |
分析:(1)先根据四边形ABCD是平行四边形,得出AD∥BC,∠B=∠ADC,再由∠AFE=∠B可得出∠AFE=∠ADC,通过等量代换可得出∠DAF=∠CDE;
(2)由四边形ABCD是平行四边形,可得出AD∥BC,AB∥CD,∠ADE=∠CED,∠B+∠C=180°,再由∠AFE=∠B,可得出∠AFD=∠C,故可得出结论;
(3)先由四边形ABCD是平行四边形,可得出AD∥BC,CD=AB=4,再由AE⊥BC,得出AE⊥AD,由勾股定理求出DE的长,由△ADF∽△DEC可得出两三角形的边对应成比例,进而可得出AF的长.
(2)由四边形ABCD是平行四边形,可得出AD∥BC,AB∥CD,∠ADE=∠CED,∠B+∠C=180°,再由∠AFE=∠B,可得出∠AFD=∠C,故可得出结论;
(3)先由四边形ABCD是平行四边形,可得出AD∥BC,CD=AB=4,再由AE⊥BC,得出AE⊥AD,由勾股定理求出DE的长,由△ADF∽△DEC可得出两三角形的边对应成比例,进而可得出AF的长.
解答:证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠B=∠ADC,
∴∠ADE=∠DEC,
∵∠AFE=∠B,
∴∠AFE=∠ADC,
∵∠AFD=180°-∠AFE,∠C=180°-∠ADC,
∴∠AFD=∠C,
∴∠DAF=∠CDE;
(2)解:△ADF∽△DEC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ADE=∠CED,∠B+∠C=180°,
∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C,
∴△ADF∽△DEC;
(3)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC CD=AB=4,
又∵AE⊥BC,
∴AE⊥AD,
在Rt△ADE中,DE=
=
=6
∵△ADF∽△DEC,
∴
=
,
∴
=
,
∴AF=2
.
∴AD∥BC,∠B=∠ADC,
∴∠ADE=∠DEC,
∵∠AFE=∠B,
∴∠AFE=∠ADC,
∵∠AFD=180°-∠AFE,∠C=180°-∠ADC,
∴∠AFD=∠C,
∴∠DAF=∠CDE;
(2)解:△ADF∽△DEC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ADE=∠CED,∠B+∠C=180°,
∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C,
∴△ADF∽△DEC;
(3)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC CD=AB=4,
又∵AE⊥BC,
∴AE⊥AD,
在Rt△ADE中,DE=
AD2+AE2 |
(3
|
∵△ADF∽△DEC,
∴
AD |
DE |
AF |
CD |
∴
3
| ||
6 |
AF |
4 |
∴AF=2
3 |
点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,勾股定理及平行四边形的性质,此题有一定的综合性,难度适中.
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