Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）求证：AC2＝ADAB．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可；

（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案.

解：（1）连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠OCA，∠DAC＝∠BAC，

∴∠OCA＝∠DAC，

∴OC∥AD，

∵AD⊥EF，

∴OC⊥EF，

∵OC为半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）连接BC，

∵AB为⊙O的直径，AD⊥EF，

∴∠BCA＝∠ADC＝90°，

∵∠DAC＝∠BAC，

∴△ACB∽△ADC，

∴，

即AC2＝ADAB；