题目内容
【题目】如图,⊙O与直线l相离,OA⊥l于点A,OA交⊙O于点C,过点A作⊙O的切线AB,切点为B,连接BC交直线l于点D
(1)求证:AB=AD;
(2)若tan∠OCB=2,⊙O的半径为3,求BD的长.
【答案】
(1)解:证明:连接OB.
∵AB是⊙O的切线,OA⊥l,
∴∠OBA=∠OAD=90°,
又OB=OC,
∴∠OBC=∠COB=∠ACD,
∴∠ADB=∠ABD,
∴AB=AD;
(2)解:∵tan∠OCB=tan∠ACD= =2,⊙O的半径是3,
设AC=a,则AB=AD=2a,
在Rt△AOB中,OA2=AB2+OB2,
∴(a+3)2=(2a)2+32,
∴a=2.
过点A作AE⊥BD,设AE=x,DE=2x,则5x2=16,x= ,
∴DE=BE= ,
∴BD= .
【解析】(1)连接OB,利用切线的性质以及等腰三角形的性质证明∠ADB=∠ABD,利用等角对等边证得;(2)设AC=a,则AB=AD=2a,在Rt△AOB中利用勾股定理即可列方程求得a的值,进而求得BD的长.
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理和解直角三角形的相关知识点,需要掌握切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径;解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题.

【题目】数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况,发现该冷柜的工作过程是:当温度达到设定温度﹣20℃时,制冷停止,此后冷柜中的温度开始逐渐上升,当上升到﹣4℃时,制冷开始,温度开始逐渐下降,当冷柜自动制冷至﹣20℃时,制冷再次停止,…,按照以上方式循环进行. 同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y(℃)随时间x(min)的变化情况,制成下表:
时间x/min | … | 4 | 8 | 10 | 16 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 28 | 30 | 36 | 40 | 42 | 44 | … |
温度y/℃ | … | ﹣20 | ﹣10 | ﹣8 | ﹣5 | ﹣4 | ﹣8 | ﹣12 | ﹣16 | ﹣20 | ﹣10 | ﹣8 | ﹣5 | ﹣4 | a | ﹣20 | … |
(1)通过分析发现,冷柜中的温度y是时间x的函数. ①当4≤x<20时,写出一个符合表中数据的函数解析式;
②当20≤x<24时,写出一个符合表中数据的函数解析式;
(2)a的值为;
(3)如图,在直角坐标系中,已描出了上表中部分数据对应的点,请描出剩余数据对应的点,并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象.