Question

【题目】如图，⊙O与直线l相离，OA⊥l于点A，OA交⊙O于点C，过点A作⊙O的切线AB，切点为B，连接BC交直线l于点D
（1）求证：AB=AD；
（2）若tan∠OCB=2，⊙O的半径为3，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接OB．

∵AB是⊙O的切线，OA⊥l，

∴∠OBA=∠OAD=90°，

又OB=OC，

∴∠OBC=∠COB=∠ACD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD；

（2）解：∵tan∠OCB=tan∠ACD= =2，⊙O的半径是3，

设AC=a，则AB=AD=2a，

在Rt△AOB中，OA2=AB2+OB2，

∴（a+3）2=（2a）2+32，

∴a=2．

过点A作AE⊥BD，设AE=x，DE=2x，则5x2=16，x= ，

∴DE=BE= ，

∴BD= ．

【解析】（1）连接OB，利用切线的性质以及等腰三角形的性质证明∠ADB=∠ABD，利用等角对等边证得；（2）设AC=a，则AB=AD=2a，在Rt△AOB中利用勾股定理即可列方程求得a的值，进而求得BD的长．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理和解直角三角形的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．